图说：算术平均 | 几何平均 | 调和平均

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如图所示。

有线段BC，它的中点为O。在BC上取一点D，但点D不是BC的中点。过点D作BC的垂线，与以BC为直径的半圆交于点E。连接OE（圆的半径）。过点D作OE的垂线，垂足为F。则显然有

下面我们要证明，OE就是图中a和b的算术平均值，DE就是a和b的几何平均值，而EF是a和b的调和平均值。

（1）a+b为半圆直径，OE为半径，所以，OE为a和b的算术平均值。

（2）在半圆中，a乘b等于DE的平方，所以，DE为a和b的几何平均值。

（3）因为三角形DEF与三角形ODE相似，所以

即EF为a和b的调和平均值。我们用H表示调和平均值，G表示几何平均值，A表示算术平均值。于是，只有在a=b时，A=a=b，G=a=b，H=a=b。注意，a和b都不等于0。

所以，最终我们得到不等式：

即

调和平均值 ≤ 几何平均值 ≤ 算术平均值

另外，因为

所以，a和b的几何平均值G也是a和b的算术平均值A与a和b的调和平均值H的几何平均值。