阅读提示：文章顺序：1.题目；2.题目解答；3.红笔为注释（整理错题本的关键）；4.点评（题目考查点和本题解题的核心思想）
建议：先自己做一遍题，然后再看解答和点评。
很多同学其实是不会整理错题本的，有错题本的同学基本上都是为了完成老师安排的任务，草草了事，在这里，可以告诉大家，如果你是这样做的，那么你的时间基本上是浪费了。
如何整理错题本？相信大多同学在整理错题本的时候，只有上面写到的前两项内容，而错题本的关键核心在后两项内容，很多同学在整理错题本的时候，都没有认真做后面的两件事，这样的话，错题本起到的作用很小。另外，很多同学认为，错题本整理好了就完了，其实，并不是这个样子的，整理错题本的作用是可以让自己温故知新。所以，在整理错题本的时候，需要加上注释和解题思想，让自己将来看错题本的时候，可以一目了然，看到这道题目的核心关键点在哪里。
最最最重要的是，错题本整理之后，要反复重新做错题本上的题和反复看。最好的是可以定时整理错题本，然后定时看错题本。
下面开始今天的错题本内容。
1．如图，∠1＝∠2．∠3＝∠4．求证：AP平分∠BAC．
【解答】证明：
过P作PQ⊥AB于Q，PN⊥BC于N，PM⊥AC于M，
∵∠1＝∠2．∠3＝∠4，
∴PQ＝PN，PN＝PM，（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴PQ＝PM，
∵PQ⊥AB，PM⊥AC，
∴AP平分∠BAC．（到角两边距离相等的点在角平分线上）
【点评】本题考查了角平分线的性质和判定，能熟记角平分线的性质和判定的内容是解题的关键。
2．如图，△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F，G△ADE的周长为6cm．
（1）求△ABC中BC边的长度；
（2）若∠BAC＝116°，求∠DAE的度数．
【解答】解：（1）∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DA＝DB，EA＝EC，（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
则△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝6（cm），
∴BC＝6cm，
（2）∵∠BAC＝116°，
∴∠B+∠C＝180°﹣116°＝64°，（三角形内角和）
∵DA＝DB，EA＝EC，（由第一问得到）
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，（等腰对等角，等腰三角形的性质）
∵∠ADE＝∠B+∠DAB，∠AED＝∠C+∠EAC，（三角形外角定理）
∴∠ADE+∠AED＝128°，
∴∠DAE＝180°﹣128°＝52°．（三角形内角和）
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键。
3．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF．
【解答】证明：∵AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，BD＝DC，（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴∠ABC＝∠ACB，（等腰对等角，等腰三角形的性质）
∵BC平分∠ACF，
∴∠FCB＝∠ACB，（角平分线的性质）
∴∠ABC＝∠FCB，（等量代换）
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF（ASA）
∴BE＝CF．（全等三角形的性质）
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，之前说过在做题的时候容易忘记使用垂直平分线和角平分线两个重要的定理，但是，这里要告诉大家的是，即便已经熟练了使用这两个定理，也不要忽略全等三角形相关定理的使用。做题的时候垂直平分线、角平分线与全等三角形之间要灵活选择，不能顾此失彼。
4．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
【解答】解：如图，点P为所作．
这是一个典型的作图题，读题是解所有题目的关键，这道题更是，同学们读题要细心，并且能够把文字叙述翻译成数学语言是很重要的。给同学们翻译一下这道题目：两条公路，这是一个角；两个村庄C、D，这是线段CD的两个端点；车站是一个点；使车站到两个村庄距离相等，是点到线段两端点距离相等，所以要画CD的垂直平分线；到两条公路距离相等，是点到角两边距离相等，所以要画∠AOB的角平分线。
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。也考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC的垂直平分线上．
（1）若AB＝5，BC＝7，求△ABE的周长；
（2）若∠B＝57°，∠DAE＝15°，求∠C的度数．
【解答】解：∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝CE，（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴AE+BE＝BE+CE＝BC＝7，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BC＝12；
（2）设∠C＝α，
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝α，（等腰对等角，等腰三角形的性质）
∵∠DAE＝15°，
∴∠DAC＝15°+α，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝2×（15°+α），（角平分线的性质）
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴57°+α+2（15°+α）＝180°，（三角形内角和与方程思想）
∴α＝31°，
∴∠C＝31°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，另外也用到了方程思想，方程思想在解决有一个或者两个未知量的时候非常好用，但是在几何题里面，方程思想往往比较容易遗忘。希望同学们提高警惕，学习知识不要忽略各个模块之间的联系。
6．已知：如图所示，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，交AC于点G．求证：∠CAE＝∠B．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD①，（角平分线的性质）
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴∠EAD＝∠EDA②，（等腰对等角，等腰三角形的性质）
∵∠CAE＝∠EAD﹣∠CAD③，
∠B＝∠EDA﹣∠BAD，
∴∠CAE＝∠B．（等量代换①②③）
【点评】本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质，这道题的综合性就比较强了，需要同学们有比较强大的逻辑思维，还需要同学们有一个比较好的知识框架，学过的知识点忘记了，谁都救不了自己。
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