本文主要讨论“仅已知两数位于金三角顶点、中心数未知”的不定三阶幻方。所谓金三角即为图一中4个三角形所示，“九宫格已知两数、位于金三角顶点”是指，图一中任意三角形的两顶点数字已知。
图一
有关已知两数位于同一侧行(列）情形，参见文“小学不定三阶幻方分类求解：仅知两数，中心数、幻和均未知！”，链接如下：
小学“不定”三阶幻方分类求解：仅知两数，中心数、幻和均未知！ – 今日头条
一、不定三阶幻方：已知两数位于金三角顶点
以图一红色三角形为例，金三角顶点为a2、a6和a7，三顶点中任何两顶点数字已知都可依据“金三角性质”推出另一顶点数字。比如，若a6和a7已知，则可求出a2=2a7-a6。也即“已知两数位于金三角顶点”等价于“已知三数位于金三角顶点”。尽管等价于已知三数，若无其他约束条件，中心数无法确定，故其为不定三阶幻方。
二、情形1：填入数为连续自然数。
1、依据已知数的单双，确定中心的单双：幻方顶点数为单(双)，中心数为双(单)；行列中间数为单(双)，中心数为单(双)。
2、依据已知两数之差，确定可填入连续自然数组合的可能取值范围：若已知两数之差大于8，则无解；若已知两数ai与aj之差为8，则只有1种可能组合“ai—aj”（不妨设ai＜aj）；若已知两数ai与aj之差为7，则只有2种可能组合：“(ai-1)—aj”和“ai—(aj+1)”；以此类推。
以图二幻方为例，加以说明。
图二
由金三角性质，图二幻方等价于如下幻方。
图三
由于幻方左下顶点为双数6，图二幻方的中心数只能取单数。由6-3=3，可知填入连续自然数的可能组合有6种：1-9，2-10，3-11，4-12，5-13和6-14，其对应的中间数即幻和中心数分别为5，6，7，8，9和10。注意到组合“5-13”对应的中心数为9需填入幻方中心，这与图三矛盾，故舍去。再依据中心数为单数，连续自然数的可能组合只剩2种：1-9和3-11。最后依次试解即可。
比如，1-9可按图四填入。
图四
3-11，可按图四填入。
图五
三、情形2：填入数等差数列(连续自然数除外)。
为方便起见，不妨设图一a6和a7已知，且a6＜a7。
1、求两数之差a7-a6之，并求“a7-a6”的所有因数，将其除1之外的因数从小到大排序，记为b1、b2、……、a7-a6。
2、以b1为例，先考虑公差为b1，再考虑公差为“2b1”，……以此类推。
3、根据公差的取值，找出等差数列的可能组合。特别地，若a7-a6只有其自身唯一一个非1的因素，则无需考虑以a7-a6的倍数作为公差情形。
以图二幻方为例，说明如下。
由6-3=3知，“两数之差”除1之外的因数只有3。公差为3的等差数列可能组合只有1种：3，6，9，12，15，18，21，24，27。其对应的中心数为15，幻和为45。按图六依次填入即可。
图六
四、情形3：填入的自然数无其他限制，甚至可重复。
由图三可知，图二幻方中心数最小取值为5。故只需让中心数取值大于等于5，再逐个试解即可。
以中心数取8为例，可得填入数不重复的幻方，如图七。
图七
以中心数取9为例，可得填入数重复的幻方，如图八。
图八
—————————————————————
贝笑数学，记录孩子身边的数学！
———END———
限 时 特 惠： 本站每日持续更新海量各大内部创业教程，永久会员只需98元，全站资源免费下载 点击查看详情
站 长 微 信： yjxmw518
